Je m'aperçois que j'ai bêtement confondu "ë" et ü".
Il n'y bien sûr pas deux petits points sur le "u" dans le mot "aigu" mais sur le "e" dans sa forme au féminin "aiguē".
Ces deux points, que l'on appelle bien tréma ?, peuvent, dans certains mots français, apparaître sur la voyelle "e", et exclusivement sur cette voyelle-là (mis à part le cas particulier de "i" [ï]) ?

Et donc lorsque aujourd'hui on rédige un texte sous forme manuscrite doit-on obligatoirement marquer l'Umlaut sur les voyelles par ces deux petits points ou est-il orthographiquement toujours licite de le marquer par les deux petits traits "gothiques" ?

Ce même signe diacritique est un tréma pour la langue française et un Umlaut pour l’allemand.

Le nom allemand der Umlaut, la métaphonie, l'inflexion vocalique, ne désigne normalement pas un signe diacritique. Il rend compte d'abord de la modification de la prononciation d'une voyelle puis du nouveau son obtenu après cette modification : Ä, Ö, Ü sind Umlaute, Ä, Ö, Ü sont des voyelles infléchies (dont le son d'origine a été modifié).
Il est donc abusif de nommer en français « umlaut » le tréma de ces voyelles. Ce sont pour moi des voyelles infléchies, dont un tréma marque l'inflexion.
Ce tréma peut être nommé en allemand Umlautzeichen, signe d'inflexion, au singulier, ou, au pluriel, Umlautpunkte, points d'inflexion.

Chover a dit :

Ce  serait oublier l’usage. Et il y a belle lurette que l’usage  a accepté  le terme " Umlaut" pour désigner également le signe diacritique.

L’avantage de parler d’un Umlaut lorsque il s’agit de la langue allemande, c’est qu’on évite immédiatement la confusion, puisque le Umlaut et le tréma ont des rôles distincts dans les deux langues respectives..

Voyelle apparue typiquement par métaphonie ; signe graphique de cette voyelle.

Chover a écrit :

Voilà pourquoi , de fait, ce ne sont pas des " trémas" .
Je comprends votre souci d’être compris des francophones non germanistes, mais en caractères gothiques, ce signe diacritique n’est pas un tréma et vous tombez dans l’inexactitude.

Je précise que lorsqu’on enseigne l’allemand et que l’on décrit aux apprenants français le fonctionnement de la langue allemande et sa graphie, on parle , en français, du " Umlaut" et non d’un tréma.

De même que les étudiants germanophones qui apprennent le français sont amenés très tôt  à parler de l’" accent  aïgu " ou de l’accent circonflexe " . Et l’enseignant, tout en commentant la graphie française en allemand, introduira ces termes  spécifiques français.

▪ Désigne aussi un signe identique qui, dans d’autres langues, se place sur une voyelle à laquelle il confère une prononciation particulière. Le mot espagnol « vergüenza », qui signifie « honte », porte un tréma. Dictionnaire de l'Académie, entrée TRÉMA.

Voilà pourquoi, répondant auparavant à cette même question de trictrac , j'emploie comme lui, le terme Umlaut ( qu'on peut mettre en italique ou entre guillemets , pour indiquer qu'on cite un mot d'une langue autre que le français).

En effet, en lettres cursives, le tréma ne s'écrit pas au moyen de deux traits mais uniquement par deux points. Ce qu'écrivent les Allemands ou Autrichiens n'est donc pas un tréma mais bien un Umlaut.

Dans le contexte où trictrac a posé cette question, la professeur d'allemand ne pouvait lui répondre que comme je l'ai fait.

J'ajoute que dans le contexte de l'enseignement de l'allemand, durant toute ma carrière, mes collègues comme moi-même ont toujours qualifié ce signe diacritique auprès des élèves ainsi, par le terme Umlaut. L'inflexion, elle, ne désigne pas le signe mais le phénomène linguistique, la mutation vocalique, laquelle sera marquée à l'écrit par le dit signe.

Peu m'importe ce que disent le Robert ou d'autres dictionnaires. Lorsqu'on se situe dans un contexte d'enseignement de l'allemand, ils n'ont pas voix au chapitre

Quant aux cours en université que vous citiez, s'il s'afgit de cours dans le cadre d'études de langue, littérature et civilisation germanique, vous n'avez pu entendre parler, comme ce fut mon cas, que du Umlaut, les cours, à ce niveau d'études, se faisant en allemand et non en français.  Ou bien, nous n'avons vraiment pas vécu la même expérience.

Quoi qu'il en soit, je continuerai à parler de Umlaut, ne serait-ce que pour éviter toute confusion chez le locuteur français. La langue allemande est déjà difficile à prononcer pour de nombreux francophones, autant leur simplifier les choses, sur le plan pédagogique.

Si je m'en tiens à la définition donnée par le TLFI, le tréma est un « Signe orthographique formé de deux points juxtaposés que l'on écrit sur les voyelles e, i, u, pour indiquer qu'elles ne forment pas un digramme ». Rien de cela dans l'Umlaut. Il me paraît donc justifié d'utiliser le terme allemand dans le cadre de cette langue.

Je crois que dans cette intéressante discussion, tout le monde a raison selon le point de vue duquel il regarde la chose, selon les définitions qu’il adopte et le contexte. Ensuite, il faut tenir compte de l’usage.

Ce qui me semble capital à comprendre, c’est que, au fil des années et des siècles, les définitions initiales tant du tréma que du umlaut ont pu évoluer pour finalement se rejoindre dans un usage commun lorsqu’il s’agit juste de désigner le signe des deux points surmontant une lettre. Mais naturellement, la fonction de ces deux points n’est pas la même dans la langue française et dans la langue allemande, diérèse dans le premier cas, inflexion vocalique dans le second. Je néglige les variations de forme de l’umlaut, ses deux petits traits, maintenant remplacés dans les livres par deux points. Par ailleurs, même pour les deux points du tréma français, je suppose que quand il est apparu au Moyen-Âge, il a pu aussi être tracé de deux traits de plume plutôt que deux points (c’est dur de faire deux points ronds avec une plume).
Dans sa première apparition au dictionnaire de l’Académie (4e édition, 1762), le tréma « [Il] se dit d’Une voyelle accentuée de deux points qui avertissent que cette voyelle forme seule une syllabe, & ne doit pas s’unir avec une autre. Ces deux points ne se mettent que sur trois voyelles, ë, ï, ü. Poëte, naïf, ïambe, Saül. » La définition concerne donc d’abord la voyelle diérésique, comme le dictionnaire de  Richelet qui dit : « Ce mot est un terme d’imprimerie qui se dit de trois lettres de l’a, de l’i et de l’u, sur lesquelles on met deux points. »
Mais une petite remarque ouvre déjà la possibilité que le nom désigne aussi le signe lui-même des deux points : « On le fait quelquefois substantif. Il faut mettre un tréma sur cette voyelle. »
La 6e édition (1835) est encore plus claire : « Il est quelquefois substantif masculin ; et alors il se dit de Ces deux points. Mettez un tréma sur cet i. »
En 1935, la définition devient : « Signe formé de deux points qui se place au-dessus d’un e, d’un i, d’un u, pour indiquer qu’il forme une voyelle séparée de la précédente ou de la suivante. Naïf, ciguë, Saül, ïambe s’écrivent avec des trémas. Il faut mettre un tréma sur l’e d’aiguë. Par apposition, Un ï tréma. »
Et dans l’édition actuelle, elle est :
« ■  Signe orthographique formé de deux points disposés horizontalement qui, en français, se place au-dessus des voyelles e, i ou u, pour indiquer que celles-ci ne forment pas un phonème unique avec la voyelle ou le groupe de lettres qui précède. « Noël », « canoë », « naïf », « ambiguïté », « Saül » s’écrivent avec des trémas. En apposition. Un i tréma (ï), qui porte un tréma. Le i tréma sert, dans quelques mots, à transcrire un yod, comme dans « aïeul », « raï ».
▪ Désigne aussi un signe identique qui, dans d’autres langues, se place sur une voyelle à laquelle il confère une prononciation particulière. Le mot espagnol « vergüenza », qui signifie « honte », porte un tréma. » (déjà cité par 'chover')

https://www.dictionnaire-academie.fr/article/A9T2076

On voit que toutes ces définitions sont maintenant centrées sur le signe lui-même. On parle néanmoins de sa fonction dans la langue française, naturellement, mais la dernière définition ouvre la porte pour accepter que le tréma désigne l’umlaut (en langue allemande).

Le « Dictionnaire de linguistique et des sciences du langage » (Larousse, Dubois et al, 1994 ) définit ainsi le tréma : « Le tréma est un signe graphique constitué de deux petits points juxtaposés que l’on place sur les voyelles e, i, u pour indiquer que la voyelle qui précède a une prononciation indépendante. […] Cet usage du tréma est particulier au français ; en allemand, il indique une modification du timbre de la voyelle sur laquelle il est placé (umlaut). »
Il me semble donc que ‘chover’ est tout à fait fondé à parler de tréma en français pour ce signe utilisé pour l’umlaut.
En revanche, je ne saurais prendre parti dans les usages scolaires ou universitaires en cette matière, que j’ignore entièrement. Je comprends parfaitement qu’on puisse préférer l’un au détriment de l’autre, pour éviter les confusions.
Néanmoins, je note que la "Grammaire méthodique de l’allemand moderne" (Ophrys, J. M. Pastré, 1979) écrit page 18 : « Voyelles infléchies : Elles présentent un tréma dans la graphie, appelé inflexion (umlaut). »
Je ne me rappelle malheureusement absolument pas ce que m’ont enseigné mes professeurs d’allemand à l’école.
Autres exemples :
https://books.google.fr/books?id=4mgZAA … mp;f=false
https://books.google.fr/books?id=GK7_EA … mp;f=false

Je crois comprendre qu'il existe des cas assez rares de mots allemands qui utilisent un "vrai" tréma, diérésique, par exemple le nom du comédien allemand Bernhard Hoëcker. Le signe diacritique est le même mais la fonction est différente du "umlaut".

D'après cette page : « "Bernhard Hoëcker" heißt eigentlich "Bernhard Hoecker", wählte aber das Trema bei seinem Nachnamen als Künstlernamen, um die Aussprache zu verdeutlichen - nicht dass es als "ö" ausgesprochen wird. »
https://www.vorablesen.de/autoren/bernhard-hoecker

Traduction :
"Bernard Hoëcker" s'appelle en fait "Bernard Hoecker », mais il a choisi le tréma sur son nom d'artiste afin d'en préciser la prononciation, pour que "oe" n'y soit pas prononcé "eu".

Quelqu'un sait-il précisément quelle prononciation de son patronyme souhaite l'acteur ? ['hoɜkəɐ] ?

Qu'on ne m'en veuille pas ! Je me suis bien fourvoyé en essayant au message 26 d'expliquer ledit tréma !
Belle occasion de signaler qu'en allemand, das Trema, qui a deux pluriels au choix, die Tremas ou die Tremata, ne s'emploie que pour désigner le signe de diérèse.

Vous avez tellement raison, Abel.
Dans les discussions sur la langue allemande et dans beaucoup d'autres sujets sur abclf auxquels vous participez, regina, vos interventions sont passionnantes. Mais acceptez ici, s'il-vous-plaît, les arguments incontestables qui ont été avancés.