L'origine est connue : c'est un participe passé adjectivé du verbe soubsigner (XIIIe s.), venu du latin subsignare. C'est une formule juridique : qui a signé ci-dessous. Nous savons déjà que le droit emploie souvent des formes particulières, qui n'appartiennent pas au langage courant.
Le je est évidemment mis pour moi. On utilise ce pronom de préférence, parce qu'après la formule suit une forme conjuguée qui s'introduit par je : je [soussigné] m'engage... Je [soussigné] certifie, alors que moi soussigné m'engage ressemblerait à du style petit-nègre. Ou alors, il faudrait reprendre le pronom je : Moi, Untel, je m'engage...
Peut-être quelqu'un aura-t-il d'autres lumières à nous apporter.

Votre proposition, Fadila, est tout à fait logique (d'ailleurs, en italien, on utilise directement la troisième personne : Il sottoscritto richiede, « Le soussigné demande »...). Mais, comme l'a souligné Lardenais, il s'agit de formules juridiques de la correspondance formelle qui sont rigides et souvent inaltérables. Ce sont des syntagmes cristallisés, ou des « fossiles », si vous voulez.