À mon avis, absolument. La cap se justifie –et est même indispensable– en typographie française quand il est fait référence à quelque chose d'unique et de spécifique. Des académies de danse ou de billard, mais l'Académie (française) (l'absence de cap dans la citation de Wiki a même fait lâcher un «sic» à BP. Mais ça reste bien anodin par rapport aux paquets d'âneries qui y traîne…). L'imprimerie Dugenoux, mais l'Imprimerie nationale… Bref, moi qui suis le premier à couiner contre l'abus des caps, celle de la Toile me paraît parfaitement justifiée.
Quant à Internet, il me semble qu'il y a bien des années que je n'ai plus entendu dire l'internet. Et même si la remarque de greg à propos de confesse est on ne peut plus pertinente, j'aurais tendance à penser qu'on a plus affaire à un nom propre qu'à un nom commun (cf. d'ailleurs la remarque de régina à propos de Google, Wiki, etc.), et que l'emploi de la cap est là aussi justifié.

Au sujet de certaines majuscules : en français, il y a "état" (des choses) et "État" (un pays, quoi ) ; "histoire" (racontée avant dodo) et "Histoire"... L'écriture "la Toile" est-elle dans la même logique ?

Effectivement, de nombreuses personnes ne font pas la différence: on va sur Internet, sur Facebook, sur MSN, sur Skype , sur Google, Orange, Yahoo et tutti quanti.

Mais on le considèrera plus comme un nom commun pour préciser qu'on se sert de l'internet ou de l'intranet dans tel ou tel endroit.

Il existe un précédent : <confesse> est un nom commun utilisé sans article.

aller à confesse
courir à confesse
retourner à confesse
passer à confesse
sortir de confesse
jour de confesse
séance de confesse
ton de confesse

Et à propos de graphie, on trouve aussi <internette>, <internète> et <internete>.

Pas vraiment.
Certes, on lit sur Wikipedia une ébauche d'article sur le sujet :  http://fr.wikipedia.org/wiki/Internet :

Une publication au Journal officiel de la République française indique qu'il faut utiliser le mot « internet » comme un nom commun, c'est-à-dire sans majuscule[réf. nécessaire]. L'académie française [sic] recommande de dire « l'internet »[réf. nécessaire]. Il existe une controverse sur le sujet entre les partisans des expressions « l'Internet », « Internet » et « l'internet ».

N'en déplaise à l'Académie française et à la CGTN ( Commission générale de terminologie et de néologie), la tendance actuelle est d'utiliser, à l'oral comme à l'écrit,  le mot internet sans déterminant, comme un nom propre : je vais sur Internet plutôt que sur l'internet.
De plus, lorsque l'on remplace «internet» par son (présumé)  équivalent français, on écrit  la Toile.  En anglais, la capitale majuscule  s'impose aussi. Bref, n'est-il pas étonnant de vouloir imposer la graphie sans capitale initiale, ce que ni l'usage ni la logique  ne justifient ? À moins qu'il ne s'agisse d'une manifestation de résistance à l'envahissement linguistique...  et là, le cas est grave !

Discrète, mais elle dit : « internet, n.m.inv. »
N'est-ce pas suffisant ? : )