Toutes ces expressions sont licites, on les entend sous la forme que tu présentes (à la troisième personne), mais pas forcément à la première personne :

1. On a un cor.                    => j'ai un cor  oui
2. On a une toux sèche.       => j'ai une toux sèche  oui
3. On a des verrues.            => j'ai des verrues  oui
4. On a des quintes de toux. => j'ai des quintes de toux  oui
5. On a de la fièvre.             => j'ai de la fièvre  oui
6. On a de la toux.               => j'ai de la toux  non
7. On a du cholestérol.         => j'ai du cholestérol  oui
8. On a la fièvre,                  => j'ai la fièvre  oui
9. On a la toux                     => j'ai la toux  non
10. On a de la diarrhée          => j'ai de la diarrhée  oui

    En fait, seules les expressions avec « toux » ne sont pas utilisées à la première personne (du moins ne les ai-je jamais entendues). C'est peut-être parce qu'elles sont « stylistiquement curieuses ».

1. On a un cor.
2. On a une toux sèche.
3. On a des verrues.
4. On a des quintes de toux.
5. On a de la fièvre.
6. On a de la toux.
7. On a du cholestérol.
8. On a la fièvre,
9. On a la toux

Moi non plus, elle ne me choque pas cette phrase. Syntaxiquement parlant, c'est évidemment correct (usage du déterminant en fonction de la nature du nom, de ce qu'il représente). D'un point de vue de l'expression, j'aurais pu l'utiliser je pense.

P.S.: chez le médecin, non. Docteur je tousse depuis x jours et ça ne passe pas.

Il est vrai que Google books montre une écrasante prédominance de « tousser » sur « avoir de la toux ». Cette dernière expression est peu courante. J'y vois plutôt, dans l'exemple que vous donnez, une volonté de simplifier le message en recourant à une formule unique, la phrase « si vous toussez et que vous avez de la fièvre » passant moins bien dans ce genre de message formé sur un mode publicitaire.

C'est possible, mais deux questions se posent alors :
- allons-nous chez le médecin pour faire des phrases ?
- que dirais-tu, toi-même, pour l'informer de ta toux ?

    À la première question, la réponse est -selon moi- « non ». Donc peu importe le style, seule compte la certitude d'être compris.
    À la seconde question - je réponds à ta place - il est fort probable que tu annonces quelque chose comme : « voilà docteur, je tousse » ; avec une description des caractéristiques de cette toux qui te gêne ou t'inquiète.

    Suite à cet échange oral, et après examen clinique, le médecin va noter sur ta fiche personnelle (papier ou informatisée) des précisions complémentaires. C'est là qu'on risque de rencontrer un certain nombre de termes techniques (médicaux) ou de tournures figées, notamment « présente une toux » ; tournure que personne n'emploiera à l'oral.
    Il  faut donc replacer la question dans son contexte.

Porte-toi bien !

Me too !

Je dois être contaminé déjà, car cela ne me choque guère !
L'expression est en tout cas assez ancienne en français, comme le montrent ces ouvrages de médecine :
https://www.google.com/search?q=%22avoi … mp;bih=822
https://www.google.com/search?client=fi … l2bZf6lQ8s
Mais, étrangement, ces ouvrages ne sont pas si nombreux que ça et sont parfois des traductions de l'anglais.