Il est composé de chant et de tourner, et on en revient à la distinction entre les origines de chant et chantier.

Le verbe "chantourner", qu'en dites-vous? Pourrait-il être lié à "chantier" ?

Ces étymologies sont à prendre avec précaution. Il semble qu'il y ait un rapprochement hardi entre :
- canterius 1/ cheval hongre 2/ chevron, appui pour la vigne et pour soutenir le pied d'un cheval (Gaffiot)
- un radical supposé, cant, qui signifierait coin, bord.

De tout évidence, sans ignorer que la langue qui a précédé le latin, en Gaule, appartenait au domaine linguistique celtique, les étymologistes qui se sont penchés sur les mots qu'ils qualifiaient de bas-latin ou pré-latin n'avaient aucune connaissance de ce domaine.
Un travail immense a depuis été fait sur cette langue ancienne dont il ne reste que des bribes d'écrits, par Georges Dottin (1863-1928) et actuellement par Pierre-Yves Lambert et Xavier Delamarre. Ce travail consiste à déchiffrer les écrits retrouvés dans les trente dernières années (courts textes sur tuiles ou tablettes de plomb), à comparer avec les langues celtiques modernes (breton, gallois et cornique d'un côté, et irlandais, en particulier le vieil irlandais, pour lequel on possède de nombreux textes.

Le rapprochement d'un cantos gaulois a été fait avec le gallois cant, bord d'un cercle, et le breton cant, cercle. Selon X. Delamarre, ce serait l'origine des mots français chant (au sens de côté étroit d'un objet) et canton.

Littré:
ÉTYMOLOGIE
Berry, chantier, bord d'une rivière: la Loire coule à plein chantier; bas-lat. canterium, quartier de terre, chanterium, lieu entouré de murs. D'après les sens donnés soit par le bas-latin soit par le français, le chantier est une place, un espace vide où l'on entasse du bois, où l'on radoube un vaisseau, où l'on travaille quoi que ce soit; un chantier de bois au XVIe siècle est aussi un tas de bois, c'est-à-dire un tas où le bois est de chantier, de champ, couché; un chantier est la cave, le cellier où est le vin, avoir du vin en chantier; enfin un chantier est un coin, un bord, par exemple le bord d'une rivière. Tous ces sens se ramènent au radical cant, coin, bord, qui est dans canton et dans champ 2. Du reste il y a eu confusion avec chantier, pièce de bois.

wiktionary:
Nom 2) Mot dérivé de chant (« côté, coin, bord ») avec le suffixe -ier[2], il n’est pas nécessaire d’imaginer que c’est peut-être parce que le bord des rivières servait à entasser des marchandises[1]

Secured:
Historiquement, le terme chantier était utilisé dans le domaine de la marbrerie où il désignait une table en pierre d’environ six pouces d’épaisseur, supportée par deux consoles, et sur laquelle on taillait et l’on polissait le marbre. L’origine du mot chantier est latine. Elle vient du mot latin cantherius qui signifie « canasson » ; « chevron ». C’est donc un mot qui est passé du domaine hippique au domaine technique en prenant le sens de « bois de soutien ».

Selon le Dictionnaire Historique, Alain Rey, 2016

Chantier n. m. résulte, sous les formes gantier (v. 1202), cantier (1249), localisées dans le Nord, puis chantier, de l'évolution phonétique du latin cantherius.  Ce mot, proprement "cheval hongre, mauvais cheval de charge", a reçu par une métaphore fréquente (Cf. [poutre, chèvre les sens techniques de 'chevron', "support auquel on fixe la vigne".  Il rappelle le grec kanthôn "baudet" et, comme lui est probablement emprunté. Le mot réalise le sens de "support", désignant en particulier les pièces de bois sur lesquelles on place les tonneaux (1261), la cale supportant l'objet que l'on veut façonner (1611), d'où l'expression mettre en chantier "commencer (un travail)" (1753) par métaphore (1690) de la construction d'un navire soutenu par un bloc de bois chantier naval.  Dans l'usage moderne, le mot désigne le lieu où sont entassés des matériaux (1553, du bois; par métonymie du sens antérieur d'"entassement de matériaux", 1400), prenant dans la seconde moitié du XVIIs. (1680) le sens moderne, demeuré usuel, d'"atelier en plein air", "lieur où l'on construit un bâtiment", "où on le démolit" (chantier de construction, de démolition), "où l'on effectue divers travaux" (construction ou réfection de voies, etc.).  L'idée de "grand travail en progression" qu'il implique alors fat que la locution mettre en chantier est remotivée et que le mot s'emploie pour "grande entreprise matérielle".  Ce sens a été utilisé dans diverses expressions, comme en 1940 les Chantiers de jeunesse, organisme créé sous le régime de Vichy pour soumettre les jeunes à un travail éducatif obligatoire (1940-1944).  En français du Canada,, le mot s'est appliqué spécialement à une exploitation forestière, homme de chantier signifiant "bûcheron".  V. 1, p. 435

J'ai bien vu le mot dans le Gaffiot en ligne (qui est visiblement le Gaffiot numérisé), mais je n'y vois pas de lien avec le celtique. Il n'y aurait donc, pour étayer cette hypothèse, que la citation du dictionnaire d'Ernout-Meillet.

C'est le Gaffiot qui l'indique. Le dictionnaire d'Ernout-Meillet ne le dit pas clairement, mais cite les "cantherii gallici" de Plaute (avec d'ailleurs une référence fausse).
Il y a eu sans doute aussi croisement avec le grec κανθήλιος ; le mot celtique et le mot grec ont peut-être une étymologie indo-européenne (ou autre ?) commune.

Quel chantier !

Merci, Lévine, pour cette explication. Mais je me demande d'où est issue la mention « dérivé d'un mot gaulois ». Xavier Delamarre, spécialiste du celtique ancien, et qui a travaillé sur le cheval gaulois et indo-européen, ne le cite pas dans son étude.