En tous cas, Bescherelle range être et avoir sous la  rubrique auxiliaires.

Comme diconoma, je rangerais <avoir> et <être> parmi les verbes du 3e groupe = le groupe fourre-tout qui n'est ni le 1er ni le 2e. Dans ce cas-là on est face à un rangement morphologique : c'est l'apparence sous laquelle se manifeste la conjugaison des verbes qui commande leur appartenance à un groupe plutôt qu'aux deux autres.

Par exemple, les verbes <chanter> & <parler> sont du 1er groupe car ils font /???t(?)/ & /pa?l(?)/ à toutes les personnes de l'indicatif présent, sauf à la 1re et 2e du pluriel où ils font /???t??/ & /pa?l??/ et  /???te/ & /pa?le/ respectivement.

Les verbes <finir> et <grandir> relèvent du 2e groupe car leur morphologie à l'indicatif présent est /fini/ & /????di/ à toutes les personnes singulières, /finis(?)/ & /????dis(?)/ à la 3e personne du pluriel, et respectivement /finis??/ & /????dis??/ et /finise/ & /????dise/ à la 1re et 2e du pluriel.

Inversement les verbes <avoir>, <être>, <dormir> et <boire> ne font partie ni du 1er ni du 2e groupe :

? Si, aux deux premières personnes plurielles de l'indicatif présent, /av??/ & /ave/ présentent la même morphologie que /???t??/ & /???te/, il n'en est rien pour les trois personnes singulières : */av(?)/ est irrecevable alors que /???t(?)/ est acceptable. Le verbe <avoir> est donc hors 1er groupe. Le même critère révèle que ni <être> ni <dormir> ni <boire> n'appartiennent au 1er groupe.

? Au pluriel de l'indicatif présent, le verbe <dormir> fait /d??m??/, /d??me/ & /d??m(?)/, et non pas */d??mis??/, */d??mise/ & */d??mis(?)/, comme le modèle morphologique /finis??/, /finise/ & /finis(?)/ l'exige. Aussi <dormir> est exclu du 2e groupe. Idem pour <avoir>, <être> et <boire>.

Donc la classification morphologique permet d'affirmer que <avoir>, <être>, <dormir> et <boire> appartiennent bien au 3e groupe (= le groupe qui n'est ni le 1er ni le 2e).

C'est là un second rangement possible : une classification non plus morphologique mais disons fonctionnelle et sémantique.

On peut distinguer les verbes lexicaux des verbes auxilaires : 

? Le chat a quatre pattes   opp   Le chat a attrapé une souris.

? Le chat est un petit félin   opp   Le chat est rentré manger

? La souris est un petit mammifère   opp   La souris est mangée par le chat

? Le chat va dans la cuisine   opp   Le chat va bondir sur la souris

? Le chat vient de la cuisine   opp   Le chat vient de bondir sur la souris

? Le chat fait des bêtises   opp   Le chat fait tomber le vase Ming

? Le chat commence sa toilette   opp   Le chat commence à m'agacer

? Tu me dois un vase Ming à cause de ton chat   opp   Ton chat doit avoir fait tombé le vase

? Le chat peut griffer   opp   Le chat peut avoir fait tombé le vase

? Le chat est loin de la souris   opp   Le chat est loin de ressembler à une souris.

Les verbes <être> (sémantisme = jouir d'une qualité, vérifier une propriété) & <avoir> (sémantisme = posséder qqch, être pourvu de qqch) sont des verbes lexicaux (morphologie du 3e groupe), mais ils sont aussi des auxiliaires de conjugaison dépourvus de sémantisme propre (temps composés & voie passive).

Le verbe <commencer> est morphologiquement un verbe du 1er groupe mais aussi un auxiliaire d'aspect au niveau sémantique.

Remarquer :
Le chat commence sa toilette
Le chat commence à m'agacer
  opp
Le chat entame sa toilette
Le chat *entame à m'agacer
  opp
Le chat débute sa toilette
Le chat *débute à m'agacer.