D'après le TLFi à franquette, le mot n'existe plus qu’associé à bonne, à ce point de ne pas donner la définition d'une franquette tout court, et à ce point qu'aucune origine, hormis en franc, n'est vraiment étudiée pour le mot seul, mais seulement pour la locution à la franquette, devenue à la bonne franquette.
C'est dans cet esprit que je parle d'un mot inclassable - on pourrait préférer atypique - et que j'ouvre ce sujet dans l'espoir que nous en découvrions d'autres, c'est-à-dire d'autres mots qui seraient pareillement, mais chacun à sa manière, parfaitement inclassables, ne suivant pas la règle commune qui veut qu'un mot soit premièrement, et à part entière, un mot comme les autres, se prêtant dans un deuxième temps à certaines associations ou expressions ou locutions.
Concernant l'origine, le TLFi penche pour franc, ce qui pousse l'expression à la (bonne) franquette vers le sens de « franchement, tout bonnement », mais après avoir signalé la variante avec flanquette, qui ne se prête plus à cette origine en franc.
Le site Expressio reprend la même analyse que le TLFi http://www.expressio.fr/expressions/a-l … quette.php et précise encore :
Duneton ajoute que cette expression aurait pu apparaître en opposition à celle du XVIe siècle, "à la française", qui voulait dire "avec beaucoup d'obligeance et d'arrangement" et même "luxueusement".
Parmi les origines possibles, on devrait à mon avis compter le franquet, trouvé dans le Godefroy http://micmap.org/dicfro/chercher/dicti … franquette : soldat d'une compagnie franche, du temps de Jeanne d'Arc, à qui l'on reprochait d'en avoir tué un.