D'abord tous les verbes ne sont pas équivalents en matière d'aspect.
Certains évoquent des activités qui durent, mais, à priori sans début ni fin (marcher, courir, travailler, s'entraîner,...etc).
D'autres évoquent des processus à priori sans durée, qui ne valent que parce que le processus est arrivé à terme (entrer, sortir, naître, mourir,...etc).
Pour compliquer le tout, la présence d'un complément peut modifier l'aspect d'un verbe.
Par exemple, "je construis" évoque une activité sans début ni fin, tandis que "je construis une maison", évoque un processus qui a eu un début, qui dure actuellement, mais qui n'est pas encore parvenu à son terme.
Pour que ce processus parvienne à son terme, il faut l'inscrire au passé : "j'ai construit une maison".
Le verbe "entrainer" n'a pas le même aspect que le procès "construire cette cathédrale". Mon premier est une activité sans borne, mon second un processus avec une borne initiale.
La locution "mettre du temps à" exige un processus borné, dont on veut évoquer la durée entre son début et sa fin.
La seule solution pour comprendre la phrase "il a mis du temps à être entraîné", est de prendre "entrainé" comme un adjectif : c'est à dire qu'on évoque la durée du passage de l'état "pas entraîné" à l'état "entraîné". Formulation un peu bizarre soit dit en passant.
En revanche, pour la construction de la cathédrale, il faut, pour entendre sa durée, achever son processus, c'est à dire mettre le verbe à l'accompli, et comme c'est l'objet du processus qui est sujet de la phrase, c'est donc nécessairement une phrase passive. Par conséquent, il faut employer le passé composé de la voie passive "avoir été construite".
Ainsi, on obtient le début (implicite dans construire une cathédrale), la fin (elle a été construite), et la durée intermédiaire (elle aura mis 300 ans à ce faire) .